Воспитанник тренера Петра Сячина, юный Тимофей начинал свою спортивную карьеру в родном городе, а главной его тренировочной площадкой была так называемая «липовская трасса» (автодорога Камышин — Воднобуерачное).
Как признавался сам Тимофей, будучи в Камышине, начинал он на велосипеде «Кама», рама которого была «варена-переварена». Покинув Камышин, гонщик встал под знамена команды «Катюша», приняв участие во многих международных гонках Европы и мира. Сегодня Крицкий — мастер спорта международного класса, неоднократный победитель чемпионатов России в велогонках на шоссе и треке, трехкратный призер молодежного чемпионата Европы, участник чемпионата мира.
Травма 2009 года серьезно повлияла на спортивную карьеру камышанина. Он вновь и вновь вставал в строй, выступая как за команду «Катюша», так и за команду «Русвело». Пробовал силы в велотреке... Увы, перелом 2009 года и последующие травмы серьезно подорвали резервы здоровья и выносливости молодого гонщика. В сезоне-2016 Крицкий не выступил ни в одной из гонок.
— Придется вас, наверное, разочаровать, но я завязал с велоспортом, — рассказал 29-летний Тимофей Крицкий изданию «СПОРТТАЙМ». — Обстоятельства сложились так, что этот шаг мне кажется разумнее, чем продолжение карьеры. Основная причина — это здоровье. По велоспорту, конечно, буду тосковать… Но это не смысл жизни, так что не вешаю носа. Устраиваюсь в жизни, уделяю больше внимания своим близким, супруге. Чем буду заниматься дальше, пока не знаю, но в велоспорт не вернусь».
В 2008 году, когда Тимофей Крицкий побывал в Камышине и провел пресс-конференцию вместе с первым заместителем главы города Владимиром Константиновым и председателем горспорткомитета Михаилом Сусловым (см. фото), он передал все свои медали в архив горспорткомитета. «Хочется, чтобы камышинская школа велоспорта продолжала жить...», — напутствовал тогда жителей родного города Тимофей.
В настоящее время Тимофей Крицкий проживает в Санкт-Петербурге.