Александр Рычагов родился 14 марта 1968 года в Старополтавском районе Волгоградской области. Окончил Камышинское высшее военное строительное командное училище. С 2000 по 2005 год работал председателем жилищно-коммунального комитета администрации Старополтавского района. С 2005 по 2007 год занимал должность старшего госинспектора Волжского технологического отдела.
Следующие 12 лет был директором филиала «Газпром газораспределение Волгоград» в городе Николаевске.
31 мая Александр Рычагов вступил в должность главы Быковского района. До этого в течение месяца он же был врио главы.